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Christian Döbler

• Stein's method for univariate, absolutely continuous distributions is presented and is extended in that the characterizing operator of the target distribution is adapted to a given exchangeable pair, which might be suggested by a concrete application. Furthermore, the exchangeable pairs approach in this setting is developed and several applications in the context of Beta distributions are given. In addition, the method of exchangeable pairs in the context of multivariate normal approximation is extended to random vectors with complex entries. This theory is then applied to derive a rate of convergence in the so-called Diaconis-Shahshahani theorem on traces of powers of random, Haar distributed matrices. Finally, this result is applied to prove a rate of convergence for the asymptotic normality of suitable linear statistics of the empirical spectral measure of Haar distributed, unitary matrices.
• Die Steinsche Methode für univariate, absolut-stetige Verteilungen wird vorgestellt und dadurch erweitert, dass der die Grenzverteilung charakterisierende Operator an ein durch die beabsichtigte Anwendung gegebenes austauschbares Paar angepasst wird. Ferner wird der Ansatz der austauschbaren Paare in diesem Kontext entwickelt und es werden mehrere Anwendungen aus dem Bereich der Beta-Verteilungen gegeben. Des Weiteren wird der Ansatz der austauschbaren Paare in der multivariaten Normalapproximation auf Zufallsvektoren mit komplexen Einträgen verallgemeinert. Diese Theorie wird dann angewendet, um eine Konvergenzrate im sogenannten Diaconis-Shahshahani-Theorem über Spuren von Potenzen zufälliger, Haar-verteilter Matrizen zu beweisen. Schließlich wird dieses Resultat verwendet, um eine Konvergenzrate für die asymptotische Normalität gewisser linearer Statistiken des empirischen Spektralmaßes von Haar-verteilten, unitären Matrizen zu beweisen.