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Gottfried Herold

• This thesis shows some applications of classical algebraic geometry to applications arising from cryptography. The first part of the thesis deals with the Polly Cracker with Noise cryptosystem (Albrecht et al., ASIACRYPT2011). The main result is that this scheme does not offer any significant advantages over LWE-based schemes. The second part of the thesis analyzes cryptographic assumptions in generic groups with a focus on matrix assumptions. We characterize security in an appropriate generic model using the language of algebraic geometry. Using methods from algebraic geometry, we show how to analyze matrix assumptions by considering the determinant of a related matrix. As a further application, this determinant allows to identify matrix assumptions with assumptions in polynomial spaces. We use this to construct optimal projecting pairings, thereby considerably improving efficiency of the composite-order to prime-order transformation in the framework of Freeman, EUROCRYPT2010.
• Diese Arbeit behandelt Anwendungen klassischer algebraischer Geometrie auf Fragestellungen der Kryptographie. Der erste Teil der Arbeit behandelt dabei das Polly Cracker with Noise Verschlüsselungsverfahren (Albrecht et al., ASIACRYPT2011). Es wird gezeigt, dass dieses Verfahren keine wesentlichen Vorteile gegenüber LWE-basierten Verfahren hat. Der zweite Teil der Arbeit behandelt kryptographische Annahmen in generischen Gruppen mit Schwerpunkt auf Matrixannahmen. Es werden Methoden entwickelt, um mit Hilfe von Konzepten der algebraischen Geometrie die generische Sicherheit solcher Annahmen zu analysieren. Darauf aufbauend wird eine Identifizierung von Matrixannahmen mit Annahmen in Polynomringen vorgestellt. Diese Identifikation erlaubt es, Polynommultiplikation als sog. projecting pairing zu nutzen und damit erhebliche Effizienzgewinne für Konstruktionen in symmetrischen Pairing-Gruppen zusammengesetzter Ordnung zu erzielen.